Kleene Closure

释义 Definition

Kleene closure（克莱尼闭包）是形式语言与正则表达式中的概念：对某个语言（或符号集合）进行“任意次重复”的运算，包含重复 0 次、1 次、2 次……得到的所有串的集合。常用符号是 *****（也称 Kleene star / Kleene 星号）。
（在一些语境中也会提到 Kleene plus（+），表示“重复至少 1 次”。）

发音 Pronunciation (IPA)

/ˈkliːni ˈkloʊʒər/

例句 Examples

The Kleene closure of {a} is {ε, a, aa, aaa, …}.
{a} 的克莱尼闭包是 {ε, a, aa, aaa, …}。

In regular expressions, applying Kleene closure lets a pattern match any number of repetitions, including none.
在正则表达式中，使用克莱尼闭包可以让模式匹配任意次数的重复（包括不出现的情况）。

词源 Etymology

“Kleene”来自美国数学家与逻辑学家 Stephen Cole Kleene（斯蒂芬·科尔·克莱尼）的姓氏；“closure”意为“闭包/闭合”，在数学中常指对某种运算封闭后得到的最小集合。该术语用于描述语言在“重复（连接）”运算下扩展出的集合。

相关词 Related Words

• Kleene Star
• Kleene Plus
• Regular Expression
• Regular Language
• Concatenation
• Union
• Epsilon
• Automaton
• NFA
• DFA

文学与经典著作 Literary Works

• Stephen C. Kleene, “Representation of Events in Nerve Nets and Finite Automata”（1956）——提出并奠定了与正则表达式/克莱尼星号相关的经典结果。
• John E. Hopcroft, Rajeev Motwani, Jeffrey D. Ullman, **Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation**——自动机与形式语言教材中系统讲解 Kleene closure / Kleene star。
• Michael Sipser, **Introduction to the Theory of Computation**——在正则语言与正则表达式章节中频繁使用该概念。